《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

1. 函数$y=-kx - k$与$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$在同一平面直角坐标系中的图像可能是 （ ）
　

答案： D

2. 若一次函数$y = ax + b(a\neq0)$的图像与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图像的两个交点分别是$A(-1,-4)$、$B(2,m)$，则$a + 2b$的值为________.

答案： -2

3. 如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像与一次函数$y = mx + n$的图像相交于$A(a,-1)$、$B(-1,3)$两点.
　(1)求反比例函数和一次函数的表达式.
　(2)设直线$AB$交$y$轴于点$C$，$N(t,0)$是$x$轴正半轴上的一个动点，过点$N$作$NM\perp x$轴，交反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像于点$M$，连接$CN$、$OM$. 若$S_{四边形COMN}＞3$，求$t$的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图像经过$A(a, -1)$、$B(-1, 3)$两点，
∴$k = -1×3 = a×(-1)$。
∴$k = -3$，$a = 3$。
∴$A(3, -1)$，反比例函数的表达式为$y = -\frac{3}{x}$。
∵一次函数$y = mx + n$的图像经过$A(3, -1)$、$B(-1, 3)$两点，
∴$\begin{cases}-1 = 3m + n \\ 3 = -m + n \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -1 \\ n = 2 \end{cases}$。
∴一次函数的表达式为$y = -x + 2$。
(2)
∵直线$AB: y = -x + 2$交$y$轴于点$C$，
∴$C(0, 2)$。
∴$OC = 2$。
∴$S_{四边形OCMN} = S_{\triangle OMN} + S_{\triangle OCN} = \frac{1}{2}|k| + \frac{1}{2}OC\cdot ON = \frac{1}{2}×3 + \frac{1}{2}×2×t = t + \frac{3}{2}$。
∵$S_{四边形OCMN} ＞ 3$，
∴$t + \frac{3}{2} ＞ 3$，解得$t ＞ \frac{3}{2}$。
∴$t$的取值范围是$t ＞ \frac{3}{2}$。

4. 如图，函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图像经过点$A(1,2)$，过点$A$作$AC// y$轴，$AC = 1$（点$C$位于点$A$的下方），过点$C$作$CD// x$轴，与函数图像交于点$D$，连接$OC$、$OD$，则$\triangle OCD$的面积为________.
　

答案： $\frac{1}{2}$

5. （2024·凉山）如图，正比例函数$y_1=\frac{1}{2}x$与函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图像交于点$A(m,2)$.
　(1)求函数$y_2$的表达式；
　(2)把直线$y_1=\frac{1}{2}x$向上平移$3$个单位长度与函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图像交于点$B$，连接$AB$、$OB$，求$\triangle AOB$的面积.
　　　

答案：
(1)
∵点$A(m, 2)$在正比例函数$y_1 = \frac{1}{2}x$的图像上，
∴$2 = \frac{1}{2}m$，解得$m = 4$。
∴$A(4, 2)$。
∵点$A(4, 2)$在函数$y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图像上，
∴$k = 4×2 = 8$。
∴函数$y_2$的表达式为$y_2 = \frac{8}{x}(x ＞ 0)$。
(2)把直线$y_1 = \frac{1}{2}x$向上平移3个单位长度所得直线对应的函数表达式为$y = \frac{1}{2}x + 3$，设该直线与$y$轴的交点为$D$，则$D(0, 3)$，连接$AD$。
∵$BD// OA$，
∴$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle ADO} = \frac{1}{2}×3×4 = 6$。