《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

1. （2023·阜新）如图，正比例函数$y = kx$的图像与反比例函数$y = -\frac{5}{x}$的图像相交于$A、C$两点，过点$A$作$x$轴的垂线，交$x$轴于点$B$，连接$BC$，则$\triangle ABC$的面积为（ ）
A. 10 B. 7.5 C. 5 D. 2.5

答案： C

2. （2023·朝阳改编）如图，点$A$在函数$y = \frac{3}{x}(x ＜ 0)$的图像上，过点$A$作$AB \perp x$轴，垂足为$B$，点$C$在$y$轴上，则$\triangle ABC$的面积为_______.

答案： $\frac{3}{2}$

3. 如图，点$A$在函数$y = \frac{\sqrt{3}}{x}(x ＞ 0)$的图像上，点$B$在$x$轴正半轴上，$\triangle OAB$是等边三角形，则$\triangle OAB$的面积为_______.

答案： $\sqrt{3}$

4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形$OABC$为矩形，点$A、C$分别在$x$轴、$y$轴上，点$B$在函数$y_1 = \frac{k}{x}(x ＞ 0,k$为常数且$k ＞ 2)$的图像上，边$AB$与函数$y_2 = \frac{2}{x}(x ＞ 0)$的图像交于点$D$，连接$OD$，则涂色部分的面积为_______（用含$k$的式子表示）.

答案： $k - 1$

5. 如图，$P$为$x$轴的负半轴上一点，过点$P$作$x$轴的垂线，交函数$y = -\frac{1}{x}(x ＜ 0)$的图像于点$A$，交函数$y = -\frac{4}{x}(x ＜ 0)$的图像于点$B$，过点$B$作$x$轴的平行线，交函数$y = -\frac{1}{x}(x ＜ 0)$的图像于点$C$，连接$AC$.
（1）当点$P$的坐标为$(-1,0)$时，$\triangle ABC$的面积为_______.
（2）若$AB = BC$，求点$A$的坐标.
（3）连接$OA、OC$. 当点$P$的坐标为$(t,0)$时，$\triangle OAC$的面积是否随$t$的变化而变化？请说明理由.

答案：
（1）$\frac{9}{8}$ 解析：$\because AB \perp x$轴，$BC // x$轴，点$P$的坐标为$(-1,0)$，点$A$、$C$在函数$y = -\frac{1}{x}(x ＜ 0)$的图像上，点$B$在函数$y = -\frac{4}{x}(x ＜ 0)$的图像上，$\therefore$ 易得点$A$、$B$、$C$的坐标分别为$(-1,1)$、$(-1,4)$、$(-\frac{1}{4},4)$。$\therefore BC = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4}$，$AB = 4 - 1 = 3$。$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AB = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times 3 = \frac{9}{8}$。
（2）设点$P$的坐标为$(m,0)(m ＜ 0)$，则易得点$A$、$B$、$C$的坐标分别为$(m,-\frac{1}{m})$、$(m,-\frac{4}{m})$、$(\frac{m}{4},-\frac{4}{m})$，$\therefore AB = -\frac{4}{m} - (-\frac{1}{m}) = -\frac{3}{m}$，$BC = \frac{m}{4} - m = -\frac{3m}{4}$。$\because AB = BC$，$\therefore -\frac{3}{m} = -\frac{3m}{4}$，解得$m = -2$（正值舍去）。$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-2,\frac{1}{2})$ （3）$\triangle OAC$的面积不随$t$的变化而变化 理由：如图，过点$A$作$AM \perp y$轴于点$M$，延长$BC$交$y$轴于点$N$，则易知$CN \perp y$轴。$\because$ 易得$S_{\triangle AMO} = S_{\triangle CNO}$，$CN = -\frac{t}{4}$，$AM = -t$，$MN = -\frac{4}{t} - (-\frac{1}{t}) = -\frac{3}{t}$，$\therefore S_{\triangle OAC} = S_{\triangle AMO} + S_{梯形AMNC} - S_{\triangle CNO} = S_{梯形AMNC} = \frac{1}{2}(CN + AM) \cdot MN = \frac{1}{2}(-\frac{t}{4} - t) \cdot (-\frac{3}{t}) = \frac{15}{8}$。$\therefore \triangle OAC$的面积不随$t$的变化而变化。