《2025年通城学典课时作业本八年级数学下册苏科版江苏专版》

7. （2024·深圳改编）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，点A的纵坐标与横坐标的比为4∶3，且点A在函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图像上，点B在函数$y=\frac{k}{x}(k≠0，x＞0)$的图像上，则k的值为_______.

答案： 8

8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形DOBC是矩形，且D、B的坐标分别为(0，4)、(6，0)，反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$在第一象限内的图像经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F，连接OE、OF、EF. 设直线EF对应的函数表达式为$y=k_2x+b(k_2≠0)$.
（1）求反比例函数的表达式和直线EF对应的函数表达式；
（2）求△OEF的面积；
（3）当x＞0时，关于x的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＜0$的解集为____________.

答案：
(1)
∵ 四边形DOBC是矩形，且点D、B的坐标分别为(0, 4)、(6, 0)，
∴ 点C的坐标为(6, 4).
∵ A为线段OC的中点，
∴ 点A的坐标为(3, 2). 将(3, 2)代入$y = \frac{k_1}{x}$，得$k_1 = 3×2 = 6$.
∴ 反比例函数的表达式为$y = \frac{6}{x}$. 把x = 6代入$y = \frac{6}{x}$，得y = 1，
∴ 点F的坐标为(6, 1). 把y = 4代入$y = \frac{6}{x}$，得$x = \frac{3}{2}$，
∴ 点E的坐标为($\frac{3}{2}$, 4). 把(6, 1)、($\frac{3}{2}$, 4)代入$y = k_2x + b$，得$\begin{cases}6k_2 + b = 1 \\ \frac{3}{2}k_2 + b = 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2 = -\frac{2}{3} \\ b = 5 \end{cases}$，
∴ 直线EF对应的函数表达式为$y = -\frac{2}{3}x + 5$
(2) $S_{\triangle OEF} = S_{矩形DOBC} - S_{\triangle ODE} - S_{\triangle OBF} - S_{\triangle CEF} = 4×6 - \frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4 - \frac{1}{2}×6×1 - \frac{1}{2}×(6 - \frac{3}{2})×(4 - 1) = \frac{45}{4}$
(3) 0 ＜ x ＜ $\frac{3}{2}$或x ＞ 6

9. 如图，正比例函数$y=\frac{1}{2}x$与函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图像交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，OB = 4，点C在线段AB上，且AC = OC.
（1）求k的值及线段BC的长；
（2）P为点B上方y轴上一点，当△POC与△PAC的面积相等时，求点P的坐标.

答案：
(1)
∵ 点A在正比例函数$y = \frac{1}{2}x$的图像上，AB⊥y轴，OB = 4，
∴ 点A的纵坐标是4. 把y = 4代入$y = \frac{1}{2}x$，得x = 8，
∴ 点A的坐标为(8, 4).
∵ 点A在函数$y = \frac{k}{x}$(x ＞ 0)的图像上，
∴ k = 4×8 = 32.
∵ 点C在线段AB上，
∴ 设点C的坐标为(c, 4)，则BC = c.
∴ AC = AB - BC = 8 - c，$OC^2 = 4^2 + c^2$.
∵ AC = OC，即$AC^2 = OC^2$，
∴ $(8 - c)^2 = 4^2 + c^2$，解得c = 3.
∴ 点C的坐标为(3, 4).
∴ BC = 3
(2) 设点P的坐标为(0, p).
∵ P为点B上方y轴上一点，
∴ OP = p，BP = p - 4.
∵ A(8, 4)，C(3, 4)，
∴ AC = 8 - 3 = 5，BC = 3.
∵ $\triangle POC$与$\triangle PAC$的面积相等，
∴ $\frac{1}{2}×3p = \frac{1}{2}×5(p - 4)$，解得p = 10.
∴ 点P的坐标为(0, 10)