例1　(1)(多选)给出以下四个判断，其中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 已知函数$f(x)$的定义域为$(1,+\infty)$，则函数$F(x)=f(2^{x}-3)+\sqrt{3 - x}$的定义域为$(2,3]$
B. 函数$f(x)=x^{2}$的定义域$A\subseteq\mathbf{R}$，值域$B = \{4\}$，则满足条件的$f(x)$有2个
C. 若函数$f(\lg x)=x$，则$f(\frac{1}{2})=\sqrt{10}$
D. 函数$y=\frac{x - 2}{x + 1}$的值域为$\{y|y\neq1\}$

(2)[角谷猜想]“角谷猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明。“角谷运算”指的是任取一个大于1的正整数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘以3再加上1。在这样一个变换下，我们就得到了一个新的正整数。如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为1。我们记一个正整数$n(n\neq1)$经过$J(n)$次角谷运算后首次得到1(若$n$经过有限次角谷运算均无法得到1，则记$J(n)=+\infty$)，以下说法有误的是
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A. $J(n)$可看作一个定义域和值域均为$\mathbf{N}^{*}$的函数
B. $J(n)$在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C. 对任意正整数$n(n\neq1)$，都有$J(n)J(2)=J(2n)-1$
D. $J(2^{n})=n$是真命题，$J(2^{n}-1)\leq J(2^{n}+1)$是假命题

跟踪演练1　(1)(2024·临沂模拟)已知函数$sgn(x)=\begin{cases}1,x＞0, \\0,x = 0,\\ - 1,x＜0,\end{cases}$则“$sgn(e^{x}-1)+sgn(-x + 1)=0$”是“$x＞1$”的　　　　　　　　　(　　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

(2)已知$a＞0$，且$a\neq1$，函数$f(x)=\begin{cases}\log_{a}(2x^{2}+1),x\geq0, \\a^{x},x＜0,\end{cases}$若$f(f(-1))=2$，则$a =$ 　__________，$f(x)\leq4$的解集为____________。