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1[2025江苏苏州调研]满足下列条件的三条线段a,b,c能组成三角形的是(
A.$a:b:c= 1:2:3$
B.$a+b= 4,a+b+c= 9$
C.$a= 3,b= 4,c= 5$
D.$a= 3t,b= 2t,c= t$
C
)A.$a:b:c= 1:2:3$
B.$a+b= 4,a+b+c= 9$
C.$a= 3,b= 4,c= 5$
D.$a= 3t,b= 2t,c= t$
答案：
C 【解析】根据三角形的三边关系可知,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
A 设a,b,c分别为x,2x,3x,则有a+b=c,故不能组成三角形
B 将a+b=4代入a+b+c=9,得c=5,4＜5,即a+b＜c,故不能组成三角形
C 符合三角形的三边关系,故能组成三角形
D a=b+c,故不能组成三角形
A 设a,b,c分别为x,2x,3x,则有a+b=c,故不能组成三角形
B 将a+b=4代入a+b+c=9,得c=5,4＜5,即a+b＜c,故不能组成三角形
C 符合三角形的三边关系,故能组成三角形
D a=b+c,故不能组成三角形
2[2025山西太原期中]王老师有长度分别为a,b的两根小棒(如图),如果要把其中的一根剪成两段,那么在下列选项的剪法中,三根小棒一定能围成三角形的是(
A.将长为a的小棒正中间剪一刀
B.将长为b的小棒正中间剪一刀
C.将长为a的小棒任意剪一刀
D.将长为b的小棒任意剪一刀
B
)A.将长为a的小棒正中间剪一刀
B.将长为b的小棒正中间剪一刀
C.将长为a的小棒任意剪一刀
D.将长为b的小棒任意剪一刀
答案：
B 【解析】
∵b＞a,
∴由三角形三边关系得到将长为b的小棒正中间剪一刀,三根小棒一定能围成三角形.故选B.
∵b＞a,
∴由三角形三边关系得到将长为b的小棒正中间剪一刀,三根小棒一定能围成三角形.故选B.
3[2025安徽马鞍山期中]三角形的三边长分别为5,7,x,则第三边长x的取值范围是
2＜x＜12
.
答案：
2＜x＜12 【解析】由题意得第三边长x的取值范围是7-5＜x＜7+5,即2＜x＜12,故答案为2＜x＜12.
4[2025贵州遵义期中]若a,b,c为$\triangle ABC$的三边长,则$(a-b+c)(a-b-c)$
＜
0(填“＞”“＜”或“=”).
答案：
＜ 【解析】
∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴a+c＞b,b+c＞a,
∴a-b+c＞0,a-b-c＜0,
∴(a-b+c)(a-b-c)＜0,故答案为＜.
∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴a+c＞b,b+c＞a,
∴a-b+c＞0,a-b-c＜0,
∴(a-b+c)(a-b-c)＜0,故答案为＜.
5[2025上海浦东新区期中]如图,四边形ABCD中,O是AC与BD的交点,试说明:AC与BD的和小于四边形ABCD的周长.
答案：
【解】在△ABD中,AD+AB＞BD,在△BCD中,CD+BC＞BD,在△ACD中,AD+CD＞AC,在△ABC中,AB+BC＞AC,
∴AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC＞BD+BD+AC+AC,
∴2(AD+AB+CD+BC)＞2(AC+BD),
∴AD+AB+CD+BC＞AC+BD,
∴AC与BD的和小于四边形ABCD的周长.
∴AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC＞BD+BD+AC+AC,
∴2(AD+AB+CD+BC)＞2(AC+BD),
∴AD+AB+CD+BC＞AC+BD,
∴AC与BD的和小于四边形ABCD的周长.
6新考法[2025北京海淀区质检]如图,P为$\triangle ABC$内任意一点.证明:$AB+BC+CA＞PA+PB+PC$.
答案：
【证明】延长BP交AC于点D.在△ABD中,AD+AB＞BD.在△DPC中,CD+DP＞PC,
∴AB+AD+CD+DP＞BP+PD+PC,
∴AB+AC＞BP+PC.同理得AC+BC＞BP+AP,AB+BC＞AP+CP,
∴2AB+2AC+2BC＞2AP+2CP+2BP,即AB+BC+CA＞PA+PB+PC.
∴AB+AD+CD+DP＞BP+PD+PC,
∴AB+AC＞BP+PC.同理得AC+BC＞BP+AP,AB+BC＞AP+CP,
∴2AB+2AC+2BC＞2AP+2CP+2BP,即AB+BC+CA＞PA+PB+PC.
在$\triangle ABC$中,已知$∠A= 30^{\circ },∠B= 45^{\circ }$,则边BC,AC,AB中,最长的是(
A.AB
B.BC
C.AC
D.无法确定
AB
)A.AB
B.BC
C.AC
D.无法确定
答案：
A 【解析】在△ABC中,∠C=180°-30°-45°=105°,
∴△ABC中,最大的角是∠C.
∵∠C所对的边是AB,
∴最长的是AB.
∴△ABC中,最大的角是∠C.
∵∠C所对的边是AB,
∴最长的是AB.
8AI DPSK原创新考法如图,在$\triangle ABC$中,$AB＞AC$,P为AC延长线上一点,$PD⊥BC$,分别交BC的延长线、BA的延长线于D,E.求证:$AP＞AE$.
答案：
【证明】
∵AB＞AC,
∴∠ACB＞∠B.又
∵PD⊥BC,
∴∠BDE=∠BDP=90°,
∴∠P=180°-90°-∠PCD=90°-∠PCD=90°-∠ACB,∠E=180°-90°-∠B=90°-∠B,
∴∠E＞∠P,
∴AP＞AE.
∵AB＞AC,
∴∠ACB＞∠B.又
∵PD⊥BC,
∴∠BDE=∠BDP=90°,
∴∠P=180°-90°-∠PCD=90°-∠PCD=90°-∠ACB,∠E=180°-90°-∠B=90°-∠B,
∴∠E＞∠P,
∴AP＞AE.
9[2025江苏南京调研]若等腰三角形两边长分别为4,9,则其周长为
22
.
答案：
22 【解析】①若4是腰长,则底边长是9,但是4+4＜9,故不能构成三角形,舍去.②若4是底边长,则腰长是9,4+9＞9,符合三角形三边关系,成立.故等腰三角形的周长为4+9+9=22.
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