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1. (2024·上城区期末)下列方程中是一元二次方程的是 (
A.$ x + y ^ { 2 } = 2 $
B.$ x + 4 = 2 $
C.$ x ^ { 2 } + 4 x = 2 $
D.$ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x } = 2 $
C
)A.$ x + y ^ { 2 } = 2 $
B.$ x + 4 = 2 $
C.$ x ^ { 2 } + 4 x = 2 $
D.$ x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x } = 2 $
答案：
C
2. (2024·启东模拟)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ m x ^ { 2 } + n x - 2024 = 0 ( m \neq 0 ) $ 的一个解是 $ x = 1 $,则 $ m + n + 1 $ 的值是 (
A.2025
B.2024
C.2023
D.2022
A
)A.2025
B.2024
C.2023
D.2022
答案：
A
3. (2024·海安期末)已知 $ x = 1 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 3 x + c = 0 $ 的一个根,则实数 $ c $ 的值是______
2
.
答案：
2
4. 把下列关于 $ x $ 的一元二次方程化为一般形式,并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
(1) $ ( x - 5 ) ( 2 x - 1 ) = 3 $； (2) $ ( \sqrt { 2 } x + 1 ) ( x + 3 ) = \sqrt { 2 } x $.
(1) $ ( x - 5 ) ( 2 x - 1 ) = 3 $； (2) $ ( \sqrt { 2 } x + 1 ) ( x + 3 ) = \sqrt { 2 } x $.
答案：
解:
(1)原方程可化为$2x^{2}-11x+2=0$,其中二次项系数为2,一次项系数为-11,常数项为2.
(2)原方程可化为$\sqrt{2}x^{2}+(2\sqrt{2}+1)x+3=0$,其中二次项系数为$\sqrt{2}$,一次项系数为$2\sqrt{2}+1$,常数项为3.
(1)原方程可化为$2x^{2}-11x+2=0$,其中二次项系数为2,一次项系数为-11,常数项为2.
(2)原方程可化为$\sqrt{2}x^{2}+(2\sqrt{2}+1)x+3=0$,其中二次项系数为$\sqrt{2}$,一次项系数为$2\sqrt{2}+1$,常数项为3.
5. (2024·西城区期末)已知关于 $ x $ 的方程 $ ( k - 3 ) x ^ { | k | - 1 } + ( 2 k - 3 ) x + 4 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ k $ 的值应为 (
A.$ \pm 3 $
B.3
C.$ - 3 $
D.不能确定
C
)A.$ \pm 3 $
B.3
C.$ - 3 $
D.不能确定
答案：
C
6. (2024·南通通州区模拟)若 $ m $ 是方程 $ x ^ { 2 } + x - 4 = 0 $ 的一个实数根,则代数式 $ m ^ { 3 } - 5 m + 2024 $ 的值为
2020
.
答案：
2020
7. (2024·燕山区期末)已知 $ x ^ { 2 } - 2 x - 5 = 0 $,求代数式 $ 3 x ( x - 2 ) + ( x - 1 ) ^ { 2 } $ 的值.
答案：
解:$3x(x-2)+(x-1)^{2}=3x^{2}-6x+x^{2}-2x+1=4x^{2}-8x+1$.
$\because x^{2}-2x-5=0,\therefore x^{2}-2x=5$,
$\therefore$当$x^{2}-2x=5$时,原式$=4(x^{2}-2x)+1=4×5+1=20+1=21$.
$\because x^{2}-2x-5=0,\therefore x^{2}-2x=5$,
$\therefore$当$x^{2}-2x=5$时,原式$=4(x^{2}-2x)+1=4×5+1=20+1=21$.
8. 已知实数 $ m $,$ x $ 满足 $ ( m x _ { 1 } - 2 ) ( m x _ { 2 } - 2 ) = 4 $.
(1)若 $ m = \frac { 1 } { 3 } $,$ x _ { 1 } = 9 $,则 $ x _ { 2 } = $
(2)若 $ m $,$ x _ { 1 } $,$ x _ { 2 } $ 为正整数,求出符合条件的所有有序实数对 $ ( x _ { 1 }, x _ { 2 } ) $.
(1)若 $ m = \frac { 1 } { 3 } $,$ x _ { 1 } = 9 $,则 $ x _ { 2 } = $
18
；(2)若 $ m $,$ x _ { 1 } $,$ x _ { 2 } $ 为正整数,求出符合条件的所有有序实数对 $ ( x _ { 1 }, x _ { 2 } ) $.
解:当$m,x_{1},x_{2}$为正整数时,$mx_{1}-2,mx_{2}-2$均为整数,$mx_{1}\geqslant1,mx_{2}\geqslant1,mx_{1}-2\geqslant-1,mx_{2}-2\geqslant-1$,
而$4=1×4=2×2=4×1$,
$\therefore\begin{cases}mx_{1}-2=1,\\mx_{2}-2=4\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}-2=2,\\mx_{2}-2=2\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}-2=4,\\mx_{2}-2=1,\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}mx_{1}=3,\\mx_{2}=6\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}=4,\\mx_{2}=4\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}=6,\\mx_{2}=3.\end{cases}$
当$\begin{cases}mx_{1}=3,\\mx_{2}=6\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=3,x_{2}=6$;若$m=3$,则$x_{1}=1,x_{2}=2$,故$(x_{1},x_{2})$为$(3,6)$或$(1,2)$.
当$\begin{cases}mx_{1}=4,\\mx_{2}=4\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=4,x_{2}=4$;若$m=2$,则$x_{1}=2,x_{2}=2$;若$m=4$,则$x_{1}=1,x_{2}=1$,故$(x_{1},x_{2})$为$(4,4),(2,2)$或$(1,1)$.
当$\begin{cases}mx_{1}=6,\\mx_{2}=3\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=6,x_{2}=3$;若$m=3$,则$x_{1}=2,x_{2}=1$,故$(x_{1},x_{2})$为$(6,3)$或$(2,1)$.
综上所述:$(x_{1},x_{2})$为$(3,6),(1,2),(4,4),(2,2),(1,1),(6,3),(2,1)$.
而$4=1×4=2×2=4×1$,
$\therefore\begin{cases}mx_{1}-2=1,\\mx_{2}-2=4\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}-2=2,\\mx_{2}-2=2\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}-2=4,\\mx_{2}-2=1,\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}mx_{1}=3,\\mx_{2}=6\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}=4,\\mx_{2}=4\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}=6,\\mx_{2}=3.\end{cases}$
当$\begin{cases}mx_{1}=3,\\mx_{2}=6\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=3,x_{2}=6$;若$m=3$,则$x_{1}=1,x_{2}=2$,故$(x_{1},x_{2})$为$(3,6)$或$(1,2)$.
当$\begin{cases}mx_{1}=4,\\mx_{2}=4\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=4,x_{2}=4$;若$m=2$,则$x_{1}=2,x_{2}=2$;若$m=4$,则$x_{1}=1,x_{2}=1$,故$(x_{1},x_{2})$为$(4,4),(2,2)$或$(1,1)$.
当$\begin{cases}mx_{1}=6,\\mx_{2}=3\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=6,x_{2}=3$;若$m=3$,则$x_{1}=2,x_{2}=1$,故$(x_{1},x_{2})$为$(6,3)$或$(2,1)$.
综上所述:$(x_{1},x_{2})$为$(3,6),(1,2),(4,4),(2,2),(1,1),(6,3),(2,1)$.
答案：
(1)18
(2)解:当$m,x_{1},x_{2}$为正整数时,$mx_{1}-2,mx_{2}-2$均为整数,$mx_{1}\geqslant1,mx_{2}\geqslant1,mx_{1}-2\geqslant-1,mx_{2}-2\geqslant-1$,
而$4=1×4=2×2=4×1$,
$\therefore\begin{cases}mx_{1}-2=1,\\mx_{2}-2=4\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}-2=2,\\mx_{2}-2=2\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}-2=4,\\mx_{2}-2=1,\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}mx_{1}=3,\\mx_{2}=6\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}=4,\\mx_{2}=4\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}=6,\\mx_{2}=3.\end{cases}$
当$\begin{cases}mx_{1}=3,\\mx_{2}=6\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=3,x_{2}=6$;若$m=3$,则$x_{1}=1,x_{2}=2$,故$(x_{1},x_{2})$为$(3,6)$或$(1,2)$.
当$\begin{cases}mx_{1}=4,\\mx_{2}=4\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=4,x_{2}=4$;若$m=2$,则$x_{1}=2,x_{2}=2$;若$m=4$,则$x_{1}=1,x_{2}=1$,故$(x_{1},x_{2})$为$(4,4),(2,2)$或$(1,1)$.
当$\begin{cases}mx_{1}=6,\\mx_{2}=3\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=6,x_{2}=3$;若$m=3$,则$x_{1}=2,x_{2}=1$,故$(x_{1},x_{2})$为$(6,3)$或$(2,1)$.
综上所述:$(x_{1},x_{2})$为$(3,6),(1,2),(4,4),(2,2),(1,1),(6,3),(2,1)$.
(1)18
(2)解:当$m,x_{1},x_{2}$为正整数时,$mx_{1}-2,mx_{2}-2$均为整数,$mx_{1}\geqslant1,mx_{2}\geqslant1,mx_{1}-2\geqslant-1,mx_{2}-2\geqslant-1$,
而$4=1×4=2×2=4×1$,
$\therefore\begin{cases}mx_{1}-2=1,\\mx_{2}-2=4\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}-2=2,\\mx_{2}-2=2\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}-2=4,\\mx_{2}-2=1,\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}mx_{1}=3,\\mx_{2}=6\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}=4,\\mx_{2}=4\end{cases}$或$\begin{cases}mx_{1}=6,\\mx_{2}=3.\end{cases}$
当$\begin{cases}mx_{1}=3,\\mx_{2}=6\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=3,x_{2}=6$;若$m=3$,则$x_{1}=1,x_{2}=2$,故$(x_{1},x_{2})$为$(3,6)$或$(1,2)$.
当$\begin{cases}mx_{1}=4,\\mx_{2}=4\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=4,x_{2}=4$;若$m=2$,则$x_{1}=2,x_{2}=2$;若$m=4$,则$x_{1}=1,x_{2}=1$,故$(x_{1},x_{2})$为$(4,4),(2,2)$或$(1,1)$.
当$\begin{cases}mx_{1}=6,\\mx_{2}=3\end{cases}$时,若$m=1$,则$x_{1}=6,x_{2}=3$;若$m=3$,则$x_{1}=2,x_{2}=1$,故$(x_{1},x_{2})$为$(6,3)$或$(2,1)$.
综上所述:$(x_{1},x_{2})$为$(3,6),(1,2),(4,4),(2,2),(1,1),(6,3),(2,1)$.
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