Question

【题目】在△ABC中，AC=BC，射线AP交边BC于点E，点D是射线AP上一点，连接BD、CD .

（1）如图1，当∠CAB=45°，∠BDP=90°时，请直接写出DA与DB、DC之间满足的数量关系为： ．

（2）如图2，当∠CAB=30°，∠BDP=60°时，试猜想：DA与DB、DC之间具有怎样的数量关系？并说明理由．

（3）如图3，当∠ACB＝，∠BDP＝，若与之间满足，则DA与DB、DC之间的数量关系为 ．（请直接写出结论）

Answer 1

【答案】(1)；（2），证明见解析；（3）AD=BD+CD·Sin

【解析】（1）结论：AD＝BD＋CD．只要证明△ACM≌△BCD，推出CM＝CD，AM＝BD，推出△CDM是等腰直角三角形，推出DM＝CD，可得AD＝AM＋DM＝BD＋CD；

（2）如图2中，结论∴AD＝BD＋CD．只要证明△ACM≌△BCD，推出CM＝CD，AM＝BD，作CH⊥DM于H，则MH＝DH＝CDcos30°＝CD，推出DM＝CD，可得AD＝AM＋DM＝BD+CD；

（3）如图3中，结论：AD＝BD＋2CDcosα．证明方法类似．

（1）结论：AD＝BD＋CD．

理由：如图1中，作CM⊥CD交AD于M．

∵∠ACE＝∠BDE＝90°，∠AEC＝∠BED，

∴∠CAM＝∠CBD，

∵∠ACB＝∠MCD＝90°，

∴∠ACM＝∠BCD，

∵AC＝CB，

∴△ACM≌△BCD，

∴CM＝CD，AM＝BD，

∴△CDM是等腰直角三角形，

∴DM＝CD，

∴AD＝AM＋DM＝BD＋CD．

故答案为：AD＝BD＋CD．

（2）如图2中，结论∴AD＝BD＋CD．

理由：如图2中，作∠DCM＝∠ACB交AD于M．

∵∠ACE＝∠BDE＝120°，∠AEC＝∠BED，

∴∠CAM＝∠CBD，

∵∠ACB＝∠MCD，

∴∠ACM＝∠BCD，

∵AC＝CB，

∴△ACM≌△BCD，

∴CM＝CD，AM＝BD，

作CH⊥DM于H，则MH＝DH＝CDcos30°＝CD，

∴DM＝CD，

∴AD＝AM＋DM＝BD＋CD；

（3）如图3中，结论：AD＝BD＋2CDcosα．

理由：如图3中，作∠DCM＝∠ACB交AD于M．

∵∠ACE＝∠BDE，∠AEC＝∠BED，

∴∠CAM＝∠CBD，

∵∠ACB＝∠MCD，

∴∠ACM＝∠BCD，

∵AC＝CB，

∴△ACM≌△BCD，

∴CM＝CD，AM＝BD，

作CH⊥DM于H，则MH＝DH＝CDcosα，

∴DM＝2CDcosα，

∴AD＝AM＋DM＝BD＋2CDcosα．

故答案为：AD＝BD＋2CDcosα．