Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是_____，证明你的结论；

（2）当四边形ABCD的对角线满足_____条件时，四边形EFGH是矩形（不证明）

（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？_____（不证明）

Answer 1

【答案】 平行四边形 互相垂直 菱形

【解析】分析：(1)、连接BD，根据三角形中位线的性质得出EH∥FG，EH=FG，从而得出平行四边形；(2)、首先根据三角形中位线的性质得出平行四边形，根据对角线垂直得出一个角为直角，从而得出矩形；(3)、根据菱形的性质和三角形中位线的性质得出平行四边形，然后根据对角线垂直得出矩形．

详解：（1）证明：连结BD．

∵E、H分别是AB、AD中点， ∴EH∥BD，EH=BD，

同理FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形

（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．

理由如下：如图，连结AC、BD．

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点， ∴EH∥BD，HG∥AC，

∵AC⊥BD， ∴EH⊥HG， 又∵四边形EFGH是平行四边形， ∴平行四边形EFGH是矩形；

（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：如图，连结AC、BD．

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=FG，

∴四边形EFGH是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，

∴EH⊥HG， ∴平行四边形EFGH是矩形．