Question

【题目】如图，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与x轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）（1，）、（1，﹣）、（1，0）或（1，1）

【解析】

试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．由一次函数的解析式可求出点A、B的坐标，再结合点A、B、C三点的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）假设存在，根据抛物线的解析式找出抛物线的对称轴，设出点P的坐标，利用两点间的距离找出线段PA、PB和AB的长度，分三种情况讨论△ABP为等腰三角形，根据等腰三角形的性质找出两边相等，从而找出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，从而即可得出点P的坐标．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．

∵直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，

∴A（﹣1，0），B（0，3）．

又抛物线经过A，B，C三点，

∴根据题意，得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）假设存在．

∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

∴该抛物线的对称轴为x=1．

设点P的坐标为（1，m），又A（﹣1，0），B（0，3），

则AP=，

BP=，

AB=．

△ABP是等腰三角形分三种情况：

①当AB=AP时，，

解得：m1=，m2=﹣，

∴点P的坐标为（1，）或（1，﹣）；

②当AB=BP时，，

解得：m3=0，m4=6（A、B、P三点共线，舍去），

∴点P的坐标为（1，0）；

③当AP=BP时，，

解得：m5=m6=1，

∴点P的坐标为（1，1）．

综上可得：在抛物线的对称轴上存在点P，使△ABP是等腰三角形，此时点P的坐标为（1，）、（1，﹣）、（1，0）或（1，1）．