Question

【题目】已知，ACB和DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90，连接AE、BD交于点O. AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.

（1）如图①，求证：AE=BD；

（2）如图②，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析（2）△ACB≌△DCE；△AON≌△DOM；△AOB≌△DOE；△NCB≌△MCE

【解析】试题分析：（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；

（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；

试题解析：解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD；

（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；

由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）．