Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A（0，8），B（4，0），AB的垂直平分线交y轴与点D，连接BD，M（a，1）为第一象限内的点

（1）则D（____， ____），并求直线BD的解析式；

（2）当时，求a的值；

（3）点E为y轴上一个动点，当△CDE为等腰三角形时，求E点的坐标.

Answer 1

【答案】（0,3），BD的解析式为；（2）a=6；（3）E（0， ）

【解析】试题分析：（1）设OD=x，则AD=8-x，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD=8-x，在Rt△BOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可；直线BD的解析式为y=kx+b，由待定系数法即可得出答案；

（2）由题意得出△DBC与△DBM是等高的三角形得出直线BD与直线CM平行，求出直线CM的解析式为y=-x+；把M（a，1）代入求出a=6即可；

（3）由勾股定理求出AB，得出AC=2，由勾股定理求出CD==，分三种情况：①DC=DE时；②CE=CD时；③EC=ED时；分别求出点E的坐标即可．

试题解析：(1)∵A(0,8),B(4,0)，

∴OA=8，OB=4，

设OD=x，则AD=8x，

∵AB的垂直平分线交y轴于点D，

∴BD=AD=8x，

在Rt△BOD中,由勾股定理得：x2+42=(8x)2，

解得：x=3，

∴D(0,3)；

故答案为：0，3；

设BD的解析式为y=kx+b

把B（4，0）D（0，3）代入y=kx+b得：

解得

则y=，

(2) ∵S△DBC=S△DBM时

∴△DBC与△DBM是等高的三角形

∴直线BD与直线CM平行

设CM的解析式为y=

又∵C(2，4)

∴CM的解析式为y=

又∵M（a，1）且在第一象限

∴a=6 .

(3) 由勾股定理得，AB=，

∵点C为边AB的中点，

∴AC=AB=×4=2，AD=5

∴CD=

设E(0，x)，则DE=∣x-3 ∣,D（0，x）

①DC=DE时，

∴=∣x-3 ∣

∴x=或x=

∴E（0， ）或（0， ）；

②CE=CD时，过C作CF⊥AO交AO于F，

∴F为DE的中点，且F (0，4)

∴EF=DF=1

∴x-4=1

∴x=5

E（0，5）

③ EC=ED时，过E作EQ⊥CD于Q，

则EQ∥AB，

∴Q为CD的中点，

∴E为AD的中点，

∴AE=ED，

∴8x=x3，

解得：x=，

E(0， )；

综上所述：当△CDE为等腰三角形时，E点的坐标为(0， +3)或(0，+3)或(0，5)或(0， ).