Question

【题目】已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF；其中正确的是（　 　）

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．

解：①∵BD为△ABC的角平分线，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴在△ABD和△EBC中，，

∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；

②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，

∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，

∵△ABD≌△EBC，

∴∠BCE＝∠BDA，

∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；

③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，

∴∠DCE＝∠DAE，

∴△ACE为等腰三角形，

∴AE＝EC，

∵△ABD≌△EBC，

∴AD＝EC，

∴AD＝AE＝EC．③正确；

④过E作EG⊥BC于G点，

∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，

∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），

∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，

∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），

∴BG＝BF，

∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，

∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），

∴AF＝CG，

∴BA＋BC＝BF＋FA＋BGCG＝BF＋BG＝2BF，④正确．

故选D．