Question

【题目】如图①，在Rt△ ABC和Rt△CED中，∠ABC＝∠CED＝90°，点E在AC上．点D在BC上，点F为AD的中点，连接BF、EF.

图①

观察与发现：

(1)线段BF和EF的数量关系是_ _．

拓广与探索：

(2)如图，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点E落在边BC的延长线上，点F为AD的中点，则(1)中发现的结论是否成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．

图②

(3)如图③，把图①中的△CED绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，点F为AD的中点，则(1)中发现的结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立．请说明理由．

图③

Answer 1

【答案】(1) BF＝EF(2) BF＝EF成立(3) BF＝EF成立．

【解析】(1) BF＝EF

(2)结论BF＝EF成立．

证明：如图①，过点F作FG⊥BE于点G，∴∠FGB＝90°，

图①

∵∠ABC＝90°， ∴∠ABC＋∠FGB＝180°， ∴FG∥AB.

又∵∠CED＝90°， ∴∠CED＝∠BGF. ∴FG∥DE.

∴AB∥FG∥DE. ∴＝.

∵点F是AD的中点，∴AF＝FD. ∴BG＝GE.

又∵FG⊥BE， ∴BF＝EF；

(3)结论BF＝EF成立．

证明：如图②，过点F作FM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，连接FN.

∴∠FMC＝∠DNC＝90°.

图②

∵△CDE绕着点C顺时针旋转，使点D落在边AC上，∴∠DCN＝∠DCE.

在△CDN和△CDE中，，

∴△CDN≌△CDE(AAS)． ∴CN＝CE.

在△FNC和△FEC中，，

∴△FNC≌△FEC(SAS)． ∴FN＝EF.

∵∠ABC＝90°，∠FMN＝∠DNC＝90°.

∴AB∥FM∥DN. 由(2)推理可知BF＝FN. ∴BF＝EF.