Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：

①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．

其中正确的个数是（ ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

Answer 1

【答案】D.

【解析】

试题解析：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，

∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，

在△BAE和△CDE中

∵，

∴△BAE≌△CDE（SAS），

∴∠ABE=∠DCE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，

∵在△ADH和△CDH中，

，

∴△ADH≌△CDH（SAS），

∴△ADH≌△CDH（SAS），

∴∠HAD=∠HCD，

∵∠ABE=∠DCE

∴∠ABE=∠HAD，

∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，

∴∠ABE+∠BAH=90°，

∴∠AGB=180°-90°=90°，

∴AG⊥BE，故①正确；

∵tan∠ABE=tan∠EAG=，

∴AG=BG，GE=AG，

∴BG=4EG，故②正确；

∵AD∥BC，

∴S△BDE=S△CDE

∴S△BDE-S△DEH=S△CDE-S△DEH，

即；S△BHE=S△CHD，故③正确；

∵△ADH≌△CDH，

∴∠AHD=∠CHD，

∴∠AHB=∠CHB，

∵∠BHC=∠DHE，

∴∠AHB=∠EHD，故④正确；

故选D．