Question

【题目】如图，在△ABC中,∠B=45°, ，等腰直角△DAE中，∠DAE=90°，且点D是边BC上一点。

(1)求AC的长；

(2)如图1，当点E恰在AC上时,求点E到BC的距离；

(3)如图2, 当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值。

图1 图2

Answer 1

【答案】(1)4(2) (3)

【解析】试题分析：（1）作AF⊥BC，垂足为F，由已知可得BF=AF=2，从而得CF=BC-BF=2，在Rt△FAC中，利用勾股定理即可求出AC长；

（2）过点A作AB的垂线交BC于点G，连接EG，证明△BAD≌△GAE，从而得∠AGE=∠ABD=45°，EG=BD，继而得∠EGB=90°，得到点E到BC的距离为EG的长，设BD=x，则DF=2-x，CD=2+2-x，在Rt△ADF中，AD2=AF2+DF2=22+（2-x）2， 在Rt△ADC中，AD2=CD2-AC2=（2+2-x）2-42，从而解得x= ，即得到点E到BC的距离；

（3）当点D从点B向点C运动时，由（2）知点E到BC的距离为EG的长，即为BD的长，从而得到最大值即为BC的长.

试题解析：(1)作AF⊥BC，垂足为F，

∵∠B=45°，∴△FBA为等腰直角三角形，

∴BF=AF，

∵AB=2 ，∴AF=BF=2，

∵BC=2+2，∴CF=BC-BF=2，

在Rt△FAC中，AC= =4；

（2）过点A作AB的垂线交BC于点G，连接EG，

∵∠B=45°，∠BAG=90°，∴△GBA为等腰直角三角形，∴AB=AG， ∠AGB=45°，

∵∠DAE=90°，△DAE为等腰直角三角形，

∴AD=AE，∠BAD=∠GAE，∴△BAD≌△GAE，∴∠AGE=∠ABD=45°，EG=BD，

∴∠EGB=∠AGE+∠AGB=45°+45°=90°，故点E到BC的距离为EG的长，

设BD=x，则DF=2-x，CD=2+2-x，

在Rt△ADF中，AD2=AF2+DF2=22+（2-x）2，

在Rt△ADC中，AD2=CD2-AC2=（2+2-x）2-42，

∴22+（2-x）2=（2+2-x）2-42，解得x= ，

∴点E到BC的距离EG=BD=；

(3)当点D从点B向点C运动时，

由（2）可知△BAD≌△GAE，

∴∠AGE=∠ABD=45°，EG=BD，

∴∠EGB=∠AGE+∠AGB=45°+45°=90°，故点E到BC的距离为EG的长，

∵EG=BD，

∴当BD=BC=时，点E到BC的距离最大，最大值为.