Question

【题目】长为30，宽为a的矩形纸片（15＜a＜30），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为 ．

Answer 1

【答案】18或22.5．

【解析】试题分析：根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽．所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽．当15＜a＜30时，矩形的长为30，宽为a，所以第一次操作时所得正方形的边长为a，剩下的矩形相邻的两边分别为30﹣a，a．由30﹣a＜a可知，第二次操作时所得正方形的边长为30﹣a，剩下的矩形相邻的两边分别为30﹣a，a﹣（30﹣a）=2a﹣30．由于（30﹣a）﹣（2a﹣30）=60﹣3a，所以（30﹣a）与（2a﹣30）的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论．又因为可以进行三次操作，故分两种情况：①30﹣a＞2a﹣30；②30﹣a＜2a﹣30．对于每一种情况，分别求出操作后剩下的矩形的两边，根据剩下的矩形为正方形，列出方程，求出a的值．

解：由题意，可知当15＜a＜30时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为30﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为30﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为30﹣a，2a﹣30．此时，分两种情况：

①如果30﹣a＞2a﹣30，即a＜20，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣30．

∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，

∴矩形的宽等于30﹣a，

即2a﹣30=（30﹣a）﹣（2a﹣30），解得a=18；

②如果30﹣a＜2a﹣30，即a＞20，那么第三次操作时正方形的边长为30﹣a．

则30﹣a=（2a﹣30）﹣（30﹣a），解得a=22.5．

故答案为：18或22.5．