Question

【题目】（1）如图1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．

①直接写出图中∠AOF的余角；

②如果∠EOF=∠AOD，求∠EOF的度数．

（2）如图2，已知O为线段AB中点，AC=AB，BD=AB，线段OC长为1，求线段AB，CD的长．

Answer 1

【答案】（1）①∠AOF的余角为∠AOC，∠FOE，∠BOD；②30°（2）

【解析】分析：（1）①由垂直的定义可知∠AOF+∠COA=90°，∠AOF+∠FOE=90°，从而可知∠COA与∠FOE是∠AOF的余角，由对顶角的性质从而的得到∠BOD是∠AOF的余角；②依据同角的余角相等可知∠FOE=∠DOB，∠EOF=∠AOD，从而得到∠EOF= 平角．（2）先根据中点的定义和已知得到OC所占的分率，从而得到线段AB的长，再根据已知得到CD所占的分率，从而得到线段CD的长．

本题解析：

（1）①∵OE⊥AB，OF⊥CD，

∴∠AOF+∠COA=90°，∠AOF+∠FOE=90°．

∴∠COA与∠FOE是∠AOF的余角．

∵由对顶角相等可知：∠AOC=∠BOD，

∴∠BOD+∠AOF=90°．

∴∠BOD与∠APF互为余角．

∴∠AOF的余角为∠AOC，∠FOE，∠BOD；

②∵∠AOC=∠EOF，∠AOC+∠AOD=180°，∠EOF=∠AOD，

∴6∠AOC=180°．

∴∠EOF=∠AOC=30°．

（2）∵O为线段AB中点，

∴AO=AB，

∵AC=AB，

∴OC=AB，

∵线段OC长为1，

∴AB=6，

∵AC=AB，BD=AB，

∴CD=AC+BD﹣AB=AB=×6=．