Question

【题目】如图，在中， ， ， 平分交于点， 于点， 交的延长线于点，连接，给出四个结论:①;②;③;④;其中正确的结论有 ( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】试题解析：如图，

过E作EQ⊥AB于Q，

∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，

∴CE=EQ，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB=45°，

∵EQ⊥AB，

∴∠EQA=∠EQB=90°，

由勾股定理得：AC=AQ，

∴∠QEB=45°=∠CBA，

∴EQ=BQ，

∴AB=AQ+BQ=AC+CE，

∴③正确；

作∠ACN=∠BCD，交AD于N，

∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD，

∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，

∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD，

∴∠DBC=∠CAD，

在△ACN和△BCD中，

，

∴△ACN≌△BCD，

∴CN=CD，AN=BD，

∵∠ACN+∠NCE=90°，

∴∠NCB+∠BCD=90°，

∴∠CND=∠CDA=45°，

∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN，

∴AN=CN，

∴∠NCE=∠AEC=67.5°，

∴CN=NE，

∴CD=AN=EN=AE，

∵AN=BD，

∴BD=AE，

∴①正确，②正确；

过D作DH⊥AB于H，

∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，

∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，

∴∠FCD=∠DBA，

∵AE平分∠CAB，DF⊥AC，DH⊥AB，

∴DF=DH，

在△DCF和△DBH中

，

∴△DCF≌△DBH，

∴BH=CF，

由勾股定理得：AF=AH，

∴，

∴AC+AB=2AF，

AC+AB=2AC+2CF，

AB-AC=2CF，

∵AC=CB，

∴AB-CB=2CF，

∴④正确．

故选D