【题目】如图，将圆心角为120°的扇形AOB绕着点A按逆时针方向旋转一定的角度后，得到扇形AO′B′，使得点O′ 恰在上．

（1）求作点O′；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明过程)

（2）连接AB、AB'、AO′，求证：AO′平分∠BAB′．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1如图所示：连接，作的线段垂直平分线，则直线与的交点即为所求作的点（方法不唯一）；

（2）由旋转的性质可得，进而证得是等边三角形，由此推出旋转角为，再由旋转的性质可得，由三角形内角和定理可知∠OAB＝∠OBA＝30°，继而由角的和差计算得，，

最后即可求出结论．

解：解法一：如图点是所求作的点

(或在上任取不同的点，连接，作的中垂线，则直线与的交点即为所求作的点，图略)

解法二：如图点是所求作的点

解法三：如图点是所求作的点

证明：连接

由旋转的性质可得

又

，即是等边三角形．

，即旋转角为

由旋转的性质可得

，

，

即平分

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