Question

【题目】如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF． 求证：

（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接AP并延长，

∵PE⊥AB，PF⊥AC

∴∠AEP=∠AFP=90°

又AE=AF，AP=AP，

∵在Rt△AFP和Rt△AEP中

∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），

∴PE=PF．

（2）证明：∵Rt△AEP≌Rt△AFP，

∴∠EAP=∠FAP，

∴AP是∠BAC的角平分线，

故点P在∠BAC的角平分线上

【解析】（1）连接AP，根据HL证明△APF≌△APE，可得到PE=PF；（2）利用（1）中的全等，可得出∠FAP=∠EAP，那么点P在∠BAC的平分线上．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用角平分线的性质定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．