Question

【题目】直线AB、CD相交于点O.
（1）OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线.画出这个图形.
（2）射线OE、OF在同一条直线上吗?(直接写出结论)
（3）画∠AOD的平分线OG.OE与OG有什么位置关系?并说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：如图中红线所示

（2）解：∵ OE平分∠AOC ,OF平分∠BOD ,
∴ ∠COE=∠AOC ,∠DOF=∠BOD ,
∵ ∠AOC=∠BOD ,
∴ ∠EOC=∠DOF
,∵ ∠COE＋∠EOD=180° ,
∴ ∠EOD＋∠DOF=180° ,
即射线OE、OF在同一条直线上 。
（3）解：∵EF平分∠AOC和∠BOD，并且∠AOC＝∠BOD，∴∠AOE＝∠DOF．∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG．∵∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180°，∴∠DOF＋∠DOG＝180°÷2＝90°，∴OE⊥OG
【解析】（1），用圆规在OA、OC上分别截取相等的线段，以与两边的交点为圆心，以大于交点间的距离的长为半径作弧，两弧在∠AOC内交于点E，作射线OE，则OE就是∠AOC的平分线，同理作出∠BOD的平分线；
（2），要判断射线OE，OF是否在同一直线上，只需判断∠EOD+∠DOF=180°是否成立，根据角平分线的性质可得 ∠COE=∠AOC ,∠DOF=∠BOD ,
再结合对顶角相等得， ∠EOC=∠DOF ,根据平角的定义得∠COE＋∠EOD=180° , 从而得出 ∠EOD＋∠DOF=180° ，即射线OE、OF在同一条直线上 ；
（3），根据角平分线的定义及对顶角相等得出∠AOE＝∠DOF ，∠AOG＝∠DOG ，根据平角的定义得出∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180° ，从而得出∠DOF＋∠DOG＝180°÷2＝90°，即OE⊥OG 。