Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E，G，H，F分别在AB，BC，CD，AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE，PF，PG，PH，则△PEF和△PGH的面积和等于 ．

Answer 1

【答案】7
【解析】∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，

∴AE=AB﹣BE=4﹣1=3，

CH=CD﹣DH=4﹣1=3，

∴AE=CH，

在△AEF与△CGH中， ，

∴△AEF≌△CGH（SAS），

∴EF=GH，

同理可得，△BGE≌△DFH，

∴EG=FH，

∴四边形EGHF是平行四边形，

∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，

∴△PEF和△PGH的面积和= ×平行四边形EGHF的面积，

∵平行四边形EGHF的面积

=4×6﹣ ×2×3﹣ ×1×（6﹣2）﹣ ×2×3﹣ ×1×（6﹣2），

=24﹣3﹣2﹣3﹣2，

=14，

∴△PEF和△PGH的面积和= ×14=7．

故答案为：7．

由矩形性质得AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，从而得出AE=CH；根据全等三角形的判定SAS可得△AEF≌△CGH，依据全等三角形的性质可得EF=GH；同理可得：△BGE≌△DFH，EG=FH，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，由此得四边形EGHF是平行四边形，从而得出S△PEF+S△PGH=S平行四边形EGHF，求出平行四边形EGHF的面积，即可得那两个三角形面积之和.