Question

【题目】如图1，点P是线段AB上的动点（P不与A、B重合），分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作等边△APC和等边△BPD，AD和BC交于点M．
（1）求证：AD=BC；
（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α（α＜60°），如图2所示，在旋转过程中，∠AMC的度数是否与α的大小有关？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

∵△APC和△BPD是等边三角形，

∴CP=AP，DP=PB，∠APC=∠DPB=60°，

∵∠BPC=180°﹣60°，∠DPA=180°﹣60°，

∴∠BPC=∠DPA，

在△BPC和△DPA中，

，

∴△BPC≌△DPA，

∴AD=BC

（2）解：∠AMC的度数与α的大小无关，理由如下：

如图2，∵∠BPC=∠CPD+60°，∠DPA=∠CPD+60°，

∴∠BPC=∠DPA，

在△BPC和△DPA中，

，

∴△BPC≌△DPA，

∴∠BCP=∠DAP，

∴∠AMC=180°﹣∠MCP﹣∠PCA﹣∠MAC

=120°﹣∠BCP﹣∠MAC

=120°﹣（∠DAP+∠MAC）

=120°﹣∠PAC

=60°，

∴∠AMC的度数与α无关．

【解析】（1）只要证明△BPC≌△DPA即可．（2）先证明△BPC≌△DPA得到∠BCP=∠DAP，求出∠AMC的大小即可解决问题．
【考点精析】通过灵活运用等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°即可以解答此题．