Question

【题目】如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以 个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）．

∵将A（3，0），B（0，3）代入得： ，

解得 ．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）

解：∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如图①所示：∠PQA=90°时．

设运动时间为t秒，则QA= t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， = ，即 = ，

解得：t=1．

如图②所示：∠QPA=90°时．

设运动时间为t秒，则QA= t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中， = ，即 = ，

解得：t= ．

综上所述，当t=1或t= 时，△PQA是直角三角形．

（3）

解：如图③所示：

设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），

则EP=3﹣t．点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），即F（3﹣t，4t﹣t2），

则FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2．

∵EP∥FQ，EF∥PQ，

∴四边形EFQP为平行四边形．

∴EP=FQ，即3﹣t=3t﹣t2．

解得：t1=1，t2=3（舍去）．

将t=1代入得点F的坐标为（2，3）．

【解析】（1）先求得直线AB与x轴、y轴的交点坐标，然后将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组求得b、c的值从而可得到抛物线的解析式；（2）由点A、B的坐标可知OB=OA，从而可求得∠BAO=45°，然后分为∠PQA=90°和∠QPA=90°两种情况求解即可；（3）由题意可知：EP∥FQ，EF∥PQ，故此四边形EFQP为平行四边形，从而得到PE=FQ，然后设点P的坐标为（t，0）则可表示出点Q、E、F的坐标，从而可求得PE、FQ的长，最后根据PE=FQ列方程求解即可．