Question

【题目】（1）如图1，在△ABC中∠A＝60 ，BD、CE均为△ABC的角平分线且相交于点O.

①填空：∠BOC＝ 度；

②求证：BC＝BE+CD．(写出求证过程)

（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n， CE平分∠ACB．

①若△ABC的面积为S，在线段CE上找一点M，在线段AC上找一点N，使得AM+MN的值最小，则AM+MN的最小值是　　 　　　　．(直接写出答案)；　

②若∠A=20°，则△BCE的周长等于　　　　　　．(直接写出答案)．

Answer 1

【答案】（1）①120；②证明见解析；（2）① (或)；②m

【解析】试题分析：（1）①根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A，由∠A＝60 即可得∠BOC的值；

②采用截长法在在BC上截取BF＝BE，连接OF，由边角边证得△EBO≌△FBO，再由角边角证得△DCO≌△FCO，即可得证；

（2）①当AM⊥BC时，AM+MN的值最小；

②在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，通过构造全等三角形，利用等腰三角形的判定和性质即可求解.

试题解析：（1）①在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，

∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，

∵BD、CE均为△ABC的角平分线，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，

∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，

∴∠BOC=90°+∠A，

∵∠A＝60 ，

∴∠BOC=90°+×60 =120°；

故答案为：120°；

②证明：由（1）①∠BOC＝120°，

∴∠BOE＝∠COD＝180°－120°＝60°，

在BC上截取BF＝BE，连接OF，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBO＝∠FBO，

又∵BO＝BO(公共边相等)

∴△EBO≌△FBO(SAS)

∴∠BOF＝∠BOE＝60°，

∴∠COF＝∠BOC－∠BOF＝120°－60°＝60°＝∠COD，

∵CE平分∠ACB，

∴∠DCO＝∠FCO，

又∵CO＝CO(公共边相等)

∴△DCO≌△FCO(ASA)

∴CD＝CF，

∴BC＝BF+CF＝BE+CD；

（2）①如图：

当AM⊥BC时，与BC交于点D，过M作MN⊥AC交AC与点D，

∵CE平分∠ACB，

∴DM=DN，

∴AD=AM+MD=AM+MN,

此时，AM+MN的值最小，

由S△ABC=BC·AD，BC=n，△ABC的面积为S，

得AD=，

或∵AB=AC, AD⊥BC, AB=AC=m，BC=n，

∴BD=CD=,

在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=；

故答案为： (或)；

②如图：在CA上截取CD=CB,以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F，

∵AB=AC=m，∠A=20°，

∴∠B=∠C=80°,

∵CE平分∠ACB,

∴∠BCE=∠DCE=40°,

∵CE=CE,

∴△BCE≌△DCE,

∴∠CDE=∠B=80°,∠DEC=∠BEC=60°,BE=DE,

∴∠CDE=40°,

∵EC=EF,

∴∠EFC=∠ECF=40°,

∴∠DEF=∠CDE-∠DFE=40°,

∴DE=DF,

∠AEF=∠DFE-∠A=40°-20°=20°,

∴EF=AF,

∴BE=DF,CE=AF,

∴△BCE的周长=BC+CE+BE=CD+AF+DF=AC=m.