Question

【题目】如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．

（1）求证：MN⊥CE；

（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，求证：CE=2MN．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）延长DN交AC于F，连BF，推出DE∥AC，推出△EDN∽△CFN，推出，求出DN=FN，FC=ED，得出MN是中位线，推出MN∥BF，证△CAE≌△BCF，推出∠ACE=∠CBF，求出∠CBF+∠BCE=90°，即可得出答案；
（2）延长DN到G，使DN=GN，连接CG，延长DE、CA交于点K，求出BG=2MN，证△CAE≌△BCG，推出BG=CE，即可得出答案．

试题解析：

（1）证明：延长DN交AC于F，连BF，

∵N为CE中点，

∴EN=CN，

∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，DE=AE，AC=BC，

∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°，

∴DE∥AC，

∴△EDN∽△CFN，

∴ ，

∵EN=NC，

∴DN=FN，FC=ED，

∴MN是△BDF的中位线，

∴MN∥BF，

∵AE=DE，DE=CF，

∴AE=CF，

∵∠EAD=∠BAC=45°，

∴∠EAC=∠ACB=90°，

在△CAE和△BCF中，

，

∴△CAE≌△BCF（SAS），

∴∠ACE=∠CBF，

∵∠ACE+∠BCE=90°，

∴∠CBF+∠BCE=90°，

即BF⊥CE，

∵MN∥BF，

∴MN⊥CE．

（2）证明：延长DN到G，使DN=GN，连接CG，延长DE、CA交于点K，

∵M为BD中点，

∴MN是△BDG的中位线，

∴BG=2MN，

在△EDN和CGN中，

，

∴△EDN≌△CGN（SAS），

∴DE=CG=AE，∠GCN=∠DEN，

∴DE∥CG，

∴∠KCG=∠CKE，

∵∠CAE=45°+30°+45°=120°，

∴∠EAK=60°，

∴∠CKE=∠KCG=30°，

∴∠BCG=120°，

在△CAE和△BCG中，

，

∴△CAE≌△BCG（SAS），

∴BG=CE，

∵BG=2MN，

∴CE=2MN．