Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连结BD，DE，∠CDE=∠ABD．

（1）证明：DE是⊙O的切线；

（2）若BD=12，sin∠CDE=，求圆O的半径和AC的长．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）圆O的半径为；AC=．

【解析】

试题分析：（1）连结OD，如图，根据圆周角定理，由AB为⊙O的直径得∠ADO+∠ODB=90°，再由OB=OD得∠OBD=∠ODB，则∠ADO+∠ABD=90°，由于∠CDE=∠ABD，所以∠ADO+∠CDE=90°，然后根据平角的定义得∠ODE=90°，于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；（2）由于∠CDE=∠ABD，则sin∠CDE=sin∠ABD=，在Rt△ABD中，根据正弦的定义得sin∠ABD==，设AD=5x，则AB=13x，由勾股定理得BD=12x，所以12x=12，解得x=1，得到AB=13，则圆O的半径为；再连结OC，如图，由于CA=CB，OA=OB，根据等腰三角形的性质得CO⊥AB，则利用等角的余角相等可得到∠ACO=∠ABD，然后在Rt△ACO中，利用∠ACO的正弦可计算出AC的长．

试题解析：（1）证明：连结OD，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ADO+∠ABD=90°，

∵∠CDE=∠ABD，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵∠CDE=∠ABD，

∴sin∠CDE=sin∠ABD=，

在Rt△ABD中，sin∠ABD==，

设AD=5x，则AB=13x，

∴BD==12x，

∴12x=12，解得x=1，

∴AB=13，

∴圆O的半径为；

连结OC，如图，

∵CA=CB，OA=OB，

∴CO⊥AB，

∴∠ACO=∠ABD，

在Rt△ACO中，∵sin∠ACO==，

∴AC=×=．