Question

【题目】如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，如图所示：

∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，

∴∠ABC=∠CAD，

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ADE=90°，

∴∠EAD=90°﹣∠AED，

∵∠AED=∠ABD，

∴∠AED=∠ABC=∠CAD，

∴∠EAD=90°﹣∠CAD，

即∠EAD+∠CAD=90°，

∴EA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

∴∠ABC+∠ADB=90°，

∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，

∴4∠ABC=90°，

∴∠ABC=22.5°，

由（1）知：∠ABC=∠CAD，

∴∠CAD=22.5°．

【解析】（1）证明切线须连接半径，证直线与半径垂直；（2）利用直径所对的圆周角等于90度可得出4∠ABC=90°，再转化为∠CAD=22.5°．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆周角定理的相关知识，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，以及对三角形的外接圆与外心的理解，了解过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心．