Question

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=1,△A'B'C是由△ABC绕点C顺时针旋转所得,连接AB',且点A,B',A'在同一条直线上,则AA'的长为__.

Answer 1

【答案】3

【解析】

根据直角三角形的性质，可得AB的长，根据旋转的性质，可得A′B′的长，B′C的长，∠A′、∠A′B′C′，根据邻补角的定义，可得∠AB′C的度数，根据等腰三角形的判定，可得AB′，根据线段的和差，可得答案．

∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×1＝2，
∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，
∴A′B′＝AB＝2，B′C＝BC＝1，A′C＝AC，∠A′＝∠BAC＝30°，∠A′B′C＝∠B＝60°，
∴△CAA′为等腰三角形，
∴∠CAA′＝∠A′＝30°，
∵A、B′、A′在同一条直线上，
∴∠A′B′C＝∠B′AC＋∠B′CA，
∴∠B′CA＝60°－30°＝30°，
∴B′A＝B′C＝1，
∴AA′＝AB′＋A′B′＝2＋1＝3．