Question

【题目】如图，在△ABC中，5AB=6AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为 ．

Answer 1

【答案】．

【解析】

试题分析：利用角平分线的性质，得到BD=CD，延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG．由MD=BD=KD=CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；由MN∥AD，列出比例式，求出的值．

解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．

∵====，

∴BD=CD．

如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM．连接DM．

在△ABD与△AMD中，

∴△ABD≌△AMD（SAS），

∴MD=BD=CD．

过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．

∵MN∥AD，

∴==，

∴CK=CD，

∴KD=CD．

∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形，

∴∠DMK=∠DKM．

由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2；

∵MN∥AD，

∴∠3=∠4=∠1=∠2，

又∵∠DKM=∠3（对顶角）

∴∠DMK=∠4，

∴DM∥GN，

∴四边形DMNG为平行四边形，

∴MN=DG=2FD．

∵点H为AC中点，AC=5CM，

∴=．

∵MN∥AD，

∴=，即=，

∴=．

故答案为．