Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．

（1）求二次函数的解析式；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点H的坐标；

（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）二次函数的解析式为y=﹣x2+x+4；

（2）△ABC是直角三角形；

（3）若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点H的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）；

（4）当t=3时，△AMN面积最大，此时点N的坐标为（3，0）．

【解析】

试题分析：（1）将A、C两点的坐标代入y=ax2+x+c，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可求得抛物线的解析式；

（2）先根据二次函数的解析式求出点B的坐标，再计算得出AB2+AC2=BC2，根据勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；

（3）设点H的坐标为（n，0），得出AC2=80，AH2=n2+16，HC2=（n﹣8）2=n2﹣16n+64．当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①AH=AC；②HC=AC；③AH=HC；分别列出关于n的方程，解方程即可；

（4）设点N的坐标为（t，0），那么BN=t+2，过M作MD⊥x轴于点D．根据平行线分线段成比例定理得出，求出MD=（t+2），再根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN，得出S△AMN=﹣（t﹣3）2+5，根据二次函数的性质即可求解．

试题解析：（1）∵二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象过点A（0，4），C（8，0），

∴，

解得，

∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+4；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：

∵y=﹣x2+x+4，

∴当y=0时，﹣ x2+x+4=0，

解得x1=8，x2=﹣2，

∴点B的坐标为（﹣2，0）．

在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2=42+22=20，

在Rt△AOC中，AC2=OA2+OC2=42+82=80，

∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中，AB2+AC2=20+80=100=102=BC2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）设点H的坐标为（n，0），则AC2=80，AH2=n2+16，HC2=（n﹣8）2=n2﹣16n+64．

当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，可分三种情况：

①如果AH=AC，那么n2+16=80，解得n=±8（正值舍去），

此时点H的坐标为（﹣8，0）；

②如果HC=AC，那么（n﹣8）2=80，解得n=8±4，

此时点H的坐标为（8+4，0）或（8﹣4，0）；

③如果AH=HC，那么n2+16=n2﹣16n+64，解得n=3，

此时点H的坐标为（3，0）；

综上所述，若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点H的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）；

（4）设点N的坐标为（t，0），则BN=t+2，过M作MD⊥x轴于点D．

∵MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴，

∵NM∥AC，

∴，

∴，

∵AO=4，BC=10，BN=t+2，

∴MD=（t+2），

∴S△AMN=S△ABN﹣S△BMN

=BNOA﹣BNMD

=×（t+2）×4﹣×（t+2）×（t+2）

=﹣t2+t+

=﹣（t﹣3）2+5，

∴当t=3时，△AMN面积最大，此时点N的坐标为（3，0）．