Question

【题目】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，O为AB边中点，将△ABC绕点O逆时针旋转60°至△EDA位置，连接CD．

（1）求证：OD⊥BC；

（2）求证：四边形AODC为菱形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）由旋转的性质得出∠DOB=60°．再由已知条件得出∠OFB=90°即可；

（2）证出AC∥OD，连接OC，得出OA=OC=OB，由旋转可知：OD=OB，因此OA=OC=OB=OD，证出△AOC为等边三角形，得出AC=OA，因此AC=OD，证出四边形AODC是平行四边形，再由OA=OD，即可得出四边形AODC是菱形．

（1）证明：由旋转的性质可知：∠DOB=60°．

∵∠B=30°，

∴∠OFB=90°，

∴OD⊥BC；

（2）证明：由（1）知∠OFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠OFB，

∴AC∥OD，

在Rt△ABC中，O为AB边中点，

连接OC，如图所示：

∴OA=OC=OB由旋转可知：OD=OB，

∴OA=OC=OB=OD，

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°

∴△AOC为等边三角形，

∴AC=OA，

∵OA=OD，

∴AC=OD，

∵AC∥OD，

∴四边形AODC是平行四边形，

又∵OA=OD，

∴四边形AODC是菱形．