Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF＝DE，②AF⊥DE（不须证明）．

（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE＝DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE＝DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．

Answer 1

【答案】解：（1）成立；（2）成立．

四边形是正方形，,．

又，．．

又，．，．

（3）正方形．证明：，

，同理，．

四边形是平行四边形．

又，．

又，．平行四边形是菱形．

．

又，．，菱形是正方形．

【解析】

（1）根据正方形的性质证明△DEC≌△AFD即可知道结论成立．

（2）由已知得四边形ABCD为正方形，证明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；进而得出AF⊥DE；

（3）首先根据题意证明四边形MNPQ是菱形，然后又因为AF⊥DE，得出四边形MNPQ为正方形．