Question

【题目】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的个数是（ ）

①AC⊥DE；② =；③CD=2DH；④．

A．1B．2C．3D．4

Answer 1

【答案】C

【解析】

试题分析：∵AD∥BC，∠ABC=90°

∴∠BAD=90°，

又∵AB=BC，

∴∠BAC=45°，

∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，

∴∠BAC=∠CAD，

∴AH⊥ED，

即AC⊥ED，故①正确；

∵△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°

∴EC=2EH

∵∠ECB=15°，

∴EC≠4EB，

∴EH≠2EB；故②错误．

∵由证①中已知，∠BAC=∠CAD，

在△ACD和△ACE中，

，

∴△ACD≌△ACE（SAS），

∴CD=CE，

∵∠BCE=15°，

∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，

∴∠CED=180°﹣∠BEC﹣∠AED=180°﹣75°﹣45°=60°，

∴△CDE为等边三角形，

∴∠DCH=30°，

∴CD=2DH，故③正确；

过H作HM⊥AB于M，

∴HM∥BC，

∴△AMH∽△ABC，

∴，

∵∠DAC=∠ADH=45°，

∴DH=AH，

∴，

∵△BEH和△CBE有公共底BE，

∴，故④正确，

∴结论正确的个数是3．

故选C．