Question

【题目】如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：
（1）△AEH≌△CGF；
（2）四边形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，

在△AEH与△CGF中，

，

∴△AEH≌△CGF（SAS）

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D．

又∵AE=CG，AH=CF，

∴BE=DG，BF=DH，

在△BEF与△DGH中，

∴△BEF≌△DGH（SAS），

∴EF=GH．

又由（1）知，△AEH≌△CGF，

∴EH=GF，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∴HG∥EF，

∴∠HGE=∠FEG，

∵EG平分∠HEF，

∴∠HEG=∠FEG，

∴∠HEG=∠HGE，

∴HE=HG，

∴四边形EFGH是菱形

【解析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）易证四边形EFGH是平行四边形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分线，易得∠HEG=∠FEG，根据等量代换可得∠HEG=∠HGE，从而有HE=HG，易证四边形EFGH是菱形．