Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=6，延长AB到点C，使BC=AB，D是⊙O上一点，DC= ．求证：
（1）△CDB∽△CAD；
（2）CD是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=6，BC=AB，DC= ，

∴AC=12，BC=6．

∴ ．

∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD

（2）证明：（证法一）：连接OD，则有OD=3，

∵OC=9，DC= ，

∵DC2+OD2=（6 ）2+32=81=92

∴DC2+OD2=OC2

∴∠ODC=90°，

∴CD⊥OD．

又∵OD是半径，

∴CD是⊙O的切线．

（证法二）：连接OD，则有OD=OA，

∴∠A=∠ADO．

∵△CDB∽△CAD，

∴∠CDB=∠A．

∴∠CDB=∠ADO．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

即∠ADO+∠ODB=90°．

∴∠CDB+∠ODB=90°．

即∠ODC=90°．

∴CD⊥OD．

∵OD是半径，

∴CD是⊙O的切线．

【解析】（1）根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可；（2）连接OD，求出OD2+CD2=OC2 ， 根据勾股定理的逆定理得出∠ODC=90°，得出结论．
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理和相似三角形的判定的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）才能正确解答此题．