Question

【题目】在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM=x．

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切；
（3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．

∴△AMN∽△ABC．

∴ ，即 ；

∴AN= x；

∴S=S△MNP=S△AMN= xx= x2．（0＜x＜4）

（2）

解：如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD= MN．

在Rt△ABC中，BC= =5；

由（1）知△AMN∽△ABC，

∴ ，即 ，

∴MN= x

∴OD= x，

过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD= x，

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA，

∴ ，

∴BM= x，AB=BM+MA= x+x=4

∴x= ，

∴当x= 时，⊙O与直线BC相切

（3）

解：随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连接AP，则O点为AP的中点．

∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，

∴△AMO∽△ABP，

∴ ，

∵AM=MB=2，

故以下分两种情况讨论：

①当0＜x≤2时，y=S△PMN= x2，

∴当x=2时，y最大= ×4= ，

②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，

∵四边形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=M=x，

又∵MN∥BC，

∴四边形MBFN是平行四边形；

∴FN=BM=4﹣x，

∴PF=x﹣（4﹣x）=2x﹣4，

又∵△PEF∽△ACB，

∴ ，

∴S△PEF= （x﹣2）2；

y=S△MNP﹣S△PEF= x2﹣ （x﹣2）2=﹣ x2+6x﹣6，

当2＜x＜4时，y=﹣ x2+6x﹣6=﹣ （x﹣ ）2+2，

∴当x= 时，满足2＜x＜4，y最大=2．

综上所述，当x= 时，y值最大，最大值是2

【解析】（1）由于三角形PMN和AMN的面积相当，那么可通过求三角形AMN的面积来得出三角形PMN的面积，求三角形AMN的面积可根据三角形AMN和ABC相似，根据相似比的平方等于面积比来得出三角形AMN的面积；（2）当圆O与BC相切时，O到BC的距离就是MN的一半，那么关键是求出MN的表达式，可根据三角形AMN和三角形ABC相似，得出MN的表达式，也就求出了O到BC的距离的表达式，如果过M作MQ⊥BC于Q，那么MQ就是O到BC的距离，然后在直角三角形BMQ中，用∠B的正弦函数以及BM的表达式表示出MQ，然后让这两表示MQ的含x的表达式相等，即可求出x的值；（3）要求重合部分的面积首先看P点在三角形ABC内部还是外面，因此可先得出这两种情况的分界线即当P落到BC上时，x的取值，那么P落点BC上时，MN就是三角形ABC的中位线，此时AM=2，因此可分两种情况进行讨论：
①当0＜x≤2时，此时重合部分的面积就是三角形PMN的面积，三角形PMN的面积（1）中已经求出，即可的x，y的函数关系式．②当2＜x＜4时，如果设PM，PN交BC于E，F，那么重合部分就是四边形MEFN，可通过三角形PMN的面积﹣三角形PEF的面积来求重合部分的面积．不难得出PN=AM=x，而四边形BMNF又是个平行四边形，可得出FN=BM，也就有了FN的表达式，就可以求出PF的表达式，然后参照（1）的方法可求出三角形PEF的面积，即可求出四边形MEFN的面积，也就得出了y，x的函数关系式．然后根据两种情况得出的函数的性质，以及对应的自变量的取值范围求出y的最大值即可．