Question

【题目】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG．
其中正确的是 ． （把所有正确结论的序号都选上）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：

∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，
∴AF= =8，
∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，
设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，
在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2 ，
∴（6﹣x）2+22=x2 ， 解得x= ，
∴ED= ，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，
∴∠2+∠3= ∠ABC=45°，所以①正确；
HF=BF﹣BH=10﹣6=4，
设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2 ，
∴y2+42=（8﹣y）2 ， 解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D， = = ， = ，
∴ ≠ ，
∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；
∵S△ABG= 63=9，S△FGH= GHHF= ×3×4=6，
∴S△ABG= S△FGH ， 所以③正确；
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以④正确．
所以答案是①③④．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似图形的相关知识，掌握形状相同，大小不一定相同（放大或缩小）;判定:①平行；②两角相等；③两边对应成比例，夹角相等；④三边对应成比例．