Question

【题目】如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C=60°．
（1）求∠APB的大小；
（2）若PO=20cm，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∵∠C=60°，

∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，

∴∠APB=360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB=60°

（2）解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，

∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO= ∠APB= ×60°=30°，PA=PB，

∴P在AB的垂直平分线上，

∵OA=OB，

∴O在AB的垂直平分线上，

即OP是AB的垂直平分线，

即OD⊥AB，AD=BD= AB，

∵∠PAO=90°，

∴∠AOP=60°，

在Rt△PAO中，AO= PO= ×20=10（cm），

在Rt△AOD中，AD=AOsin60°=10× =5 （cm），OD=OAcos60°=10× =5（cm），

∴AB=2AD=10 cm，

∴△AOB的面积为： ABOD= ×10 ×5=25 （cm2）

【解析】（1）由PA、PB分别切⊙O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；（2）由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，继而求得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用圆周角定理和切线的性质定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．