Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，
∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，
∴△BPR≌△CPS，
∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，
∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选D．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用角平分线的性质定理和等边三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．