Question

【题目】已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分交AD于点F，AEBF于点O，交BC于点E，连接EF．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) .

【解析】

(1)由BF平分∠ABC得到∠ABF=∠EBF，由AD∥BC，得到∠EBF=∠AFB，进而得到△ABF为等腰三角形，得到AB=AF；由AE⊥BF，可证明△ABO≌△EBO，得到BE=AB，进而可证明四边形ABEF为菱形;

(2)由(1)中四边形ABEF为菱形，过A点作AH⊥BC于H点，根据菱形等面积法求出AH的长，进而求出平行四边形ABCD的高，进而求出其面积.

解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，且F在AD上，E在BC上

∴AF∥BE

∴∠EBF=∠AFB

∵BF是∠ABE的角平分线

∴∠EBF=∠ABF

∴∠ABF=∠AFB

∴△ABF为等腰三角形，且AF=AB

又AE⊥BF，∴∠AOB=∠EOB=90°

在△AOB和△EOB中：

，∴△AOB和△EOB(ASA)

∴AB=BE

又AB=AF

∴BE=AF，且BE∥AF，∴四边形ABEF为平行四边形

又AB=BE，∴四边形ABEF为菱形.

(2)过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示

∵四边形ABEF为菱形

∴AE⊥BF，且BO=BF=4，OE=AE=3

∴在Rt△BOE中：

由菱形等面积法：，代入数据得：

AH=

∴平行四边形ABCD的高为

∴.

故答案为：.