Question

【题目】已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图像回答：当直线y=0.5x+b (b<k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）k＝1，2，3；

（2）图象的解析式为y＝2x2＋4x－6；

（3）b(b＜3)的取值范围为-0.5<b<1.5．

【解析】解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．∵k为正整数，∴k＝1，2，3．

(2)当k＝1时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一个根为零；

当k＝2时，方程2x2＋4x＋k－1＝0无整数根；

当k＝3时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根．

综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．

当k＝3时，二次函数为y＝2x2＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x2＋4x－6．

(3)设二次函数y＝2x2＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)．

依题意翻折后的图象如图所示．

当直线y=0.5x+b经过A点时，可得b=1.5；

当直线y=0.5x+b经过B点时，可得-0.5．

由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为-0.5<b<1.5．