Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），

把点A（0，4）代入上式得：a= ，

∴y= （x﹣1）（x﹣5）= x2﹣ x+4= （x﹣3）2﹣ ，

∴抛物线的对称轴是：x=3

（2）

解：P点坐标为：（6，4），

由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，

又∵点P的坐标中x＞5，

∴MP＞2，AP＞2；

∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，

∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，

在Rt△AOM中，AM= = =5，

∵抛物线对称轴过点M，

∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，

即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；

故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，

即P（6，4）

（3）

解：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．

设N点的横坐标为t，此时点N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），

过点N作NG∥y轴交AC于G；作AM⊥NG于M，

由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣ x+4；

把x=t代入得：y=﹣ t+4，则G（t，﹣ t+4），

此时：NG=﹣ x+4﹣（ t2﹣ t+4）=﹣ t2+4t，

∵AM+CF=CO，

∴S△ACN=S△ANG+S△CGN= AM×NG+ NG×CF= NGOC= （﹣ t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣ ）2+ ，

∴当t= 时，△CAN面积的最大值为 ，

由t= ，得：y= t2﹣ t+4=﹣3，

∴N（ ，﹣3）．

【解析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得答案；（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．