Question

【题目】如图，已知点A是双曲线 在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线 上运动，则k的值是 ．

Answer 1

【答案】﹣3
【解析】解：∵双曲线 的图象关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
连接OC，如图所示，
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°，
∴tan∠OAC= = ，
∴OC= OA，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，
∴△OFC∽△AEO，相似比 ，
∴面积比 ，
∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），
∵点A在双曲线 上，
∴S△AEO= ab= ，
∴S△OFC= FCOF= ，
∴设点C坐标为（x，y），
∵点C在双曲线 上，
∴k=xy，
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=﹣y．
∴FCOF=x（﹣y）=﹣xy=﹣ ，
所以答案是：﹣3 ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．