Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．

（1）求该抛物线的解析式及点E的坐标；

（2）若D点运动的时间为t，△CED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出△CED的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+8，E（﹣2，0）；（2）当t=5时，S最大=．

【解析】

试题分析：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+8；再令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，解方程可得点E的坐标；

（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8﹣t，然后令y=0，点E的坐标为（﹣2，0），进而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=﹣t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=．

解：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=3，c=8，

故抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+8，

∵点A（0，8）、B（8，0），

∴OA=8，OB=8，

令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，

解得：x1=8，x2=﹣2，

∵点E在x轴的负半轴上，

∴点E（﹣2，0），

∴OE=2；

（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，

∴OD=8﹣t，

∴DE=OE+OD=10﹣t，

∴S=DEOC=（10﹣t）t=﹣t2+5t，

即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，

∴当t=5时，S最大=．