Question

【题目】如图，在ABCD中，E是CD的延长线上一点，连接BE交AD于点F，且AF＝2FD.

(1)求证：△ABF∽△CEB；

(2)若△CEB的面积为9，求ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）12

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB.

(2)解：∵AF＝2FD，∴AD＝3FD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2＝4，S△CEB∶S△DEF＝BC2∶FD2＝AD2∶FD2＝9.又∵△CEB的面积为9，∴△DEF的面积为1，△ABF的面积为4，∴ABCD的面积为9－1＋4＝12.

【解析】试题分析： 根据平行四边形对角相等可得∠A＝∠C，对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等得到∠ABF＝∠E，然后利用两角对应相等，两三角形相似即可证明．

由于 可根据两三角形的相似比，求出的面积，也就求出了四边形的面积．同理可根据 求出的面积．由此可求出的面积．

试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AB∥CD，

∴∠ABF＝∠E，

∴△ABF∽△CEB.

(2)解：∵AF＝2FD，

∴AD＝3FD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，

∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，

∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2＝4，

S△CEB∶S△DEF＝BC2∶FD2＝AD2∶FD2＝9.

又∵△CEB的面积为9，

∴△DEF的面积为1，△ABF的面积为4，

∴ABCD的面积为9－1＋4＝12.