Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E．延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC．

（1）求证：CD=CE；

（2）若AE=GE，求证：△CEO是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】

（1）连接AC，根据切线的性质和已知得：AD∥OC，得∠DAC=∠ACO，根据AAS证明△CDA≌△CEA（AAS），可得结论；
（2）介绍两种证法：
证法一：根据△CDA≌△CEA，得∠DCA=∠ECA，由等腰三角形三线合一得：∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，在直角三角形中得：∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，可得结论；
证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，根据平角的定义得：∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，则3x+3x+2x=180，即得出结论．

证明：（1）连接AC，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴∠DCO=∠D=90°，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠ACO，

∴∠DAC=∠CAO，

∵CE⊥AB，

∴∠CEA=90°，

在△CDA和△CEA中，

∵ ，

∴△CDA≌△CEA（AAS），

∴CD=CE；

（2）证法一：连接BC，

∵△CDA≌△CEA，

∴∠DCA=∠ECA，

∵CE⊥AG，AE=EG，

∴CA=CG，

∴∠ECA=∠ECG，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CE⊥AB，

∴∠ACE=∠B，

∵∠B=∠F，

∴∠F=∠ACE=∠DCA=∠ECG，

∵∠D=90°，

∴∠DCF+∠F=90°，

∴∠F=∠DCA=∠ACE=∠ECG=22.5°，

∴∠AOC=2∠F=45°，

∴△CEO是等腰直角三角形；

证法二：设∠F=x，则∠AOC=2∠F=2x，

∵AD∥OC，

∴∠OAF=∠AOC=2x，

∴∠CGA=∠OAF+∠F=3x，

∵CE⊥AG，AE=EG，

∴CA=CG，

∴∠EAC=∠CGA，

∵CE⊥AG，AE=EG，

∴CA=CG，

∴∠EAC=∠CGA，

∴∠DAC=∠EAC=∠CGA=3x，

∵∠DAC+∠EAC+∠OAF=180°，

∴3x+3x+2x=180，

x=22.5°，

∴∠AOC=2x=45°，

∴△CEO是等腰直角三角形．