Question

【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，延长BC至E使BE=BA，过点B作BD⊥AE于点D，BD与AC交于点F，连接EF．

（1）求证：BF=2AD；

（2）若CE=，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2+

【解析】试题分析：（1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AC=BC，∠FCB=∠ECA=90°，由于AC⊥BE，BD⊥AE，根据垂直的定义得到∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，由于∠CFB=∠AFD，于是得到∠CBF=∠CAE，证得△BCF≌△ACE，得出AE=BF，由于BE=BA，BD⊥AE，于是得到AD=ED，即AE=2AD，即可得到结论；

（2）由（1）知△BCF≌△ACE，推出CF=CE=，在Rt△CEF中，EF==2，由于BD⊥AE，AD=ED，求得AF=FE=2，于是结论即可．

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC，∴∠FCB=∠ECA=90°，

∵AC⊥BE，BD⊥AE，

∴∠CBF+∠CFB=90°，∠DAF+∠AFD=90°，

∵∠CFB=∠AFD，

∴∠CBF=∠CAE，

在△BCF与△ACE中，，

∴△BCF≌△ACE，

∴AE=BF，

∵BE=BA，BD⊥AE，

∴AD=ED，即AE=2AD，

∴BF=2AD；

（2）由（1）知△BCF≌△ACE，

∴CF=CE=，

∴在Rt△CEF中，EF==2，

∵BD⊥AE，AD=ED，

∴AF=FE=2，

∴AC=AF+CF=2+．