Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若⊙O的直径为10，sin∠DAC= ，求BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD．

∵OD、OA是⊙O的半径，

∴OA=OD．

∴∠OAD=∠ODA．

∵点D是⊙O的切点，

∴∠ODC=90°

又∵∠C=90°，

∴OD∥AC．

∴∠ODA=∠DAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∴AD平分∠BAC．

（2）解：如图2所示：连接ED．

∵⊙O的半径为5，AE是圆O的直径，

∴AE=10，∠EDA=90°．

∵∠EAD=∠CAD，sin∠DAC= ，

∴AD= ×10=4 ．

∴DC= ×4 =4，AC= ×4 =8．

∵OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得：BD= ．

【解析】（1）连接OD．先依据平行线的判定定理证明OD∥AC，然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠OAD=∠DAC，于是可证明AD平分∠BAC．（2）连接ED、OD．由题意可知AE=10．接下来，在△ADA中，依据锐角三角函数的定义可求得AD的长，然后在△ADC中，可求得DC和AC的长，由OD∥AC可证明△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的性质可列出关于BD的方程．