Question

【题目】如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2

Answer 1

【答案】C

【解析】

试题分析：如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．

解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．

∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，

∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．

∵折叠后是一个三棱柱，

∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．

∴∠ADO=∠AKO=90°．

连结AO，

在Rt△AOD和Rt△AOK中，

，

∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．

∴∠OAD=∠OAK=30°．

设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，

∴DE=6﹣2x，

∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=﹣6x2+18x，

=﹣6（x﹣）2+，

∴当x=时，纸盒侧面积最大为．

故选C．